Manual de Sobrevivência: Álgebra Linear

1. Regras e Axiomas do Produto Interno

Definição Oficial

Seja $V$ um espaço vetorial real. Um produto interno em $V$ é uma função $\langle , \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfaz quatro pilares obrigatórios:

Simetria (Comutativa): $\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle, \forall u, v \in V$.
Aditividade: $\langle u + v, w \rangle = \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle$.
Homogeneidade: $\langle \lambda u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle$.
Positividade: $\langle u, u \rangle > 0$ para todo $u \neq 0$. (Sendo zero apenas se $u = 0$).

🎯 Ver na Prática: Ex. 10 🎯 Ver na Prática: Ex. 11

2. Produto Interno nos Diferentes Espaços

Atenção Crítica de Prova!

A "Base Canônica" só tem o superpoder de ser ortonormal se o exercício utilizar o produto interno canônico padrão (multiplicar e somar). Se o exercício criar uma regra maluca como $\langle A, B \rangle = \text{tr}(A^T B S)$ com uma matriz $S$ no meio, a base canônica deixa de ser ortonormal para aquela métrica específica!

Espaço Real ($\mathbb{R}^n$): O clássico (multiplica posições iguais e soma).
Espaço de Matrizes ($M_{n \times n}(\mathbb{R})$):
$$ \langle A, B \rangle = \text{tr}(B^t \cdot A) = \sum_{i,j} a_{ij}\, b_{ij} $$

O que esse traço faz: o produto $B^t A$ é uma matriz cuja entrada $(i,i)$ da diagonal vale $\sum_k b_{ki} a_{ki}$ — ou seja, o produto interno entre a coluna $i$ de $A$ e a coluna $i$ de $B$. Somar a diagonal (o traço) reune todas essas parcelas, dando $\sum_{i,j} a_{ij} b_{ij}$. Conclusão prática: tr$(B^t A)$ é equivalente a "achatar" as duas matrizes em vetores de $n^2$ entradas e fazer o produto interno euclidiano. Por isso a base canônica $\{E_{ij}\}$ de $M_n(\mathbb{R})$ é ortonormal nesse produto.

Exemplo rápido: $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Entrada-por-entrada: $1\cdot 0 + 2\cdot 1 + 3\cdot 1 + 4\cdot 0 = 5$. Verificando via traço: $B^t A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}$, traço $= 3 + 2 = 5$. ✓

Variantes: alguns autores escrevem $\text{tr}(A B^t)$, $\text{tr}(A^t B)$ ou $\text{tr}(AB^t)$ — todas dão o mesmo valor (o traço é invariante por permutação cíclica e $\text{tr}(X) = \text{tr}(X^t)$).
Espaço de Polinômios ($P_n(\mathbb{R})$) - Via Integral:
$$ \langle p, q \rangle = \int_a^b p(x)q(x) dx $$
Espaço de Polinômios - Via Pontos Discretos:
$$ \langle p, q \rangle = p(x_1)q(x_1) + p(x_2)q(x_2) + \dots $$
Espaço de Funções Contínuas ($C([a,b])$):
$$ \langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) dx $$

🎯 Vetores: Ex. 9 🎯 Matrizes: Ex. 13 🎯 Polinômios (Integral): Ex. 14 🎯 Polinômios (Pontos): Ex. 19 🎯 Funções Trigonométricas: Ex. 25

3. Norma e Distância

Norma (Comprimento $\|u\|$):
$$ \|u\| = \sqrt{\langle u, u \rangle} $$
Distância $d(u, v)$:
$$ d(u, v) = \|u - v\| = \sqrt{\langle u-v, u-v \rangle} $$

Teorema de Pitágoras Generalizado

Dois vetores $u, v \in V$ são ortogonais se, e somente se:

$$ \|u+v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 $$

Desigualdade de Schwarz

O módulo do produto interno nunca pode ser maior que a multiplicação das normas dos vetores:

$$ |\langle u, v \rangle| \le \|u\| \|v\| $$

🎯 Demonstração de Pitágoras: Ex. 29

4. Identificação de Subespaços Vetoriais

Teste Rápido de Prova

Use o Teste Infalível do Vetor Nulo. Substitua a origem $(0, 0, \dots)$ nas equações do conjunto. Se a restrição falhar, o conjunto está reprovado imediatamente.

5. Processo de Extração de Bases

Quando o subespaço é dado por uma ou mais equações homogêneas (ou por outra condição que restringe coordenadas), o procedimento abaixo extrai uma base do subespaço.

Resolva o sistema: isole as variáveis dependentes em função das variáveis livres. Quantas equações independentes você tem, tantas variáveis dependentes você consegue isolar.
Escreva o vetor genérico substituindo as variáveis isoladas. O vetor fica em função apenas das variáveis livres.
Quebre em parcelas: separe a expressão como soma de termos, cada um multiplicado por uma variável livre diferente. Coloque cada variável livre em evidência.
Leia os geradores: os vetores que sobram após o "fator comum" são os geradores. Como vêm de variáveis livres distintas, são automaticamente LI — formam uma base.
Confira a dimensão: $\dim(S) =$ número de variáveis livres $=$ (dimensão do espaço ambiente) $-$ (número de equações independentes).

Exemplo: extrair base de $S = \{(x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4 : x - y - z = 0,\ z - 2w = 0\}$.

(1) Da segunda equação: $z = 2w$. Substituindo na primeira: $x = y + z = y + 2w$. Variáveis livres: $y, w$.
(2) Vetor genérico: $(y + 2w,\ y,\ 2w,\ w)$.
(3) Separando por $y$ e $w$: $(y+2w, y, 2w, w) = y\,(1,1,0,0) + w\,(2,0,2,1)$.
(4) Base: $\{(1,1,0,0),\ (2,0,2,1)\}$. $\dim(S) = 2$ ✓ (4 coordenadas $-$ 2 equações).

6. Coeficientes de Combinação Linear

Proposição (Coeficientes de Fourier)

Seja $\mathcal{A}$ um subconjunto ortogonal formado por vetores não-nulos. Então:

$\mathcal{A}$ é automaticamente Linearmente Independente (L.I.).
Qualquer vetor $v$ gerado por $\mathcal{A}$ pode ser escrito como combinação linear usando projeções diretas, sem precisar de sistemas:

$$ v = \sum_{i=1}^n \frac{\langle v, v_i \rangle}{\|v_i\|^2} v_i $$

Atalho (Base Ortonormal)

Se a base for ortonormal, a norma de todos os vetores é 1 ($\|v_i\|^2 = 1$). A fórmula inteira simplifica para apenas calcular o produto interno: $c_i = \langle v, v_i \rangle$.

🎯 Ver na Prática (Cálculo Direto): Ex. 28

7. Subespaço Ortogonal ($S^\perp$)

Definição Oficial

Sejam $V$ um espaço com produto interno e $S \subseteq V$. Chamamos de subespaço ortogonal a $S$ o conjunto:

$$ S^\perp = \{ v \in V : \langle u, v \rangle = 0, \forall u \in S \} $$

Teorema (Propriedades do $S^\perp$)

O conjunto $S^\perp$ é sempre um subespaço vetorial de $V$ (mesmo que o conjunto original $S$ seja apenas um amontoado de pontos e não seja um subespaço).
Se $S$ for um subespaço válido, então a interseção entre o espaço e sua parede ortogonal contém exclusivamente a origem: $S \cap S^\perp = \{\vec{0}\}$.

Corolário (Dimensões Ortogonais)

Seja $V$ um espaço vetorial de dimensão finita e $W$ um subespaço de $V$. Então:

$$ \dim V = \dim W + \dim W^\perp $$

Como encontrar $W^\perp$ — Método Padrão

Tenha em mãos uma base de $W$. Se $W$ está descrito por equações, primeiro extraia sua base (Tópico 5). Se já está dado por geradores, ótimo.
Tome um vetor genérico $v = (x_1, \dots, x_n)$ do espaço ambiente.
Imponha $\langle v, w_i\rangle = 0$ para cada gerador $w_i$ de $W$. Pela linearidade do produto interno, ser ortogonal a todos os geradores é equivalente a ser ortogonal a todo elemento de $W$.
Resolva o sistema linear homogêneo resultante. As soluções formam $W^\perp$.
Extraia base de $W^\perp$ usando o processo do Tópico 5 (variáveis livres → geradores).

Atalho útil (somente $\mathbb{R}^n$ com produto canônico): se $W$ é definido por uma equação homogênea $c_1 x_1 + \dots + c_n x_n = 0$, então $W^\perp$ é gerado pelo vetor de coeficientes $(c_1, \dots, c_n)$ — o vetor normal ao hiperplano. Se $W$ for definido por $k$ equações independentes, $W^\perp$ é gerado pelos $k$ vetores de coeficientes correspondentes.

Exemplo 1 (via geradores): em $\mathbb{R}^4$ com produto canônico, seja $W = [(1,0,1,1),\ (1,1,0,1)]$. Achar base de $W^\perp$.
Vetor genérico $v = (x,y,z,t)$. Impondo $\langle v, w_1\rangle = 0$ e $\langle v, w_2\rangle = 0$:
$\begin{cases} x + z + t = 0 \\ x + y + t = 0 \end{cases}$
Isolando $z = -x - t$ e $y = -x - t$, com $x, t$ livres:
$v = x\,(1,-1,-1,0) + t\,(0,-1,-1,1)$.
Base de $W^\perp$: $\{(1,-1,-1,0),\ (0,-1,-1,1)\}$.

Exemplo 2 (atalho via equação): em $\mathbb{R}^3$, $W = \{(x,y,z) : 2x - y + z = 0\}$. O vetor normal é $(2,-1,1)$. Logo, $W^\perp = [(2,-1,1)]$ — direto, sem sistema.

🎯 Ver na Prática: Ex. 15 e 16 🎯 Ver na Prática: Ex. 21

8. Processo de Gram-Schmidt

Teorema da Existência

Todo espaço vetorial de dimensão finita $n \ge 1$ com produto interno possui uma base ortonormal. Podemos sempre construí-la usando o algoritmo abaixo.

Algoritmo para transformar uma base "torta" em uma base perfeitamente a 90 graus:

$w_1 = v_1$
$w_2 = v_2 - \frac{\langle v_2, w_1 \rangle}{\|w_1\|^2}w_1$
$w_{k+1} = v_{k+1} - \sum_{i=1}^k \frac{\langle v_{k+1}, w_i \rangle}{\|w_i\|^2}w_i$

🎯 Ex. 30 (Vetor R3) 🎯 Ex. 31 (Equações R4) 🎯 Ex. 32 (Matrizes M2)

9. Normalização de Vetores

Encolher ou esticar um vetor para fazer com que sua norma seja perfeitamente igual a 1 (Gerando uma base Ortonormal):

$$ v_{\text{normalizado}} = \frac{v}{\|v\|} $$

🎯 Ver na Prática (Verificação): Ex. 27

10. Projeção Ortogonal e Melhor Aproximação

Definição Oficial

Dizemos que $u$ é a projeção ortogonal de $v$ sobre o subespaço $W$ ($u = \text{proj}_W v$) se a "sombra" ou resíduo $v - u$ for ortogonal a todo vetor de $W$, ou seja, se $v - u \in W^\perp$.

Fórmula prática de cálculo rápido (Atenção: A base $u_i$ precisa obrigatoriamente ser ortogonal!)

$$ \text{Proj}_W(v) = \sum \left( \frac{\langle v, u_i \rangle}{\langle u_i, u_i \rangle} \right) u_i $$

Proposição (A Melhor Aproximação)

A projeção ortogonal $w_0$ é o vetor do subespaço que tem a menor distância possível para o vetor original $v$. Para qualquer outro vetor $w \in W$ ($w \neq w_0$):

$$ \|v - w_0\| < \|v - w\| $$

🎯 Projeção no R3: Ex. 18 🎯 Projeção P2 (Pontos): Ex. 19 🎯 Aproximação P3 (Integral): Ex. 20

11. Transformações Lineares: Definição e Testes

Definição Oficial

Sejam $U$ e $V$ espaços vetoriais sobre um corpo $\mathbb{F}$. Uma aplicação $T : U \rightarrow V$ é chamada de transformação linear se:

Aditividade: $T(u_1 + u_2) = T(u_1) + T(u_2), \forall u_1, u_2 \in U$.
Homogeneidade: $T(\lambda u) = \lambda T(u), \forall \lambda \in \mathbb{F}, u \in U$.

*Se $U = V$ (sai e chega no mesmo espaço), dizemos que $T$ é um Operador Linear.

Observação (Teste do Zero)

Se $T$ é linear, obrigatoriamente $T(0) = 0$, logo o $\text{Nuc}(T)$ nunca é vazio ($\neq \emptyset$). Se a fórmula resulta em $T(0) \neq 0$, reprove de cara (Ex: Translações).

🎯 Ver na Prática (Translação vs Cisalhamento): Ex. 17

12. O Teorema da Determinação (O "DNA" da Transformação)

Teorema da Determinação

Sejam $U$ e $V$ espaços vetoriais. Seja $\mathcal{B} = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ uma base de $U$ e $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ um subconjunto qualquer de $V$. Então, existe uma única transformação linear $T : U \rightarrow V$ tal que $T(u_i) = v_i$.

Imagem de um vetor específico $u$ (que não é um dos $u_i$ da base):
1. Escreva $u$ como combinação linear da base: $u = \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \dots + \alpha_n u_n$. Isso vira um sistema linear nos coeficientes $\alpha_i$ — resolva.
2. Aplique a linearidade de $T$: $T(u) = \alpha_1 T(u_1) + \alpha_2 T(u_2) + \dots + \alpha_n T(u_n)$. Substitua cada $T(u_i)$ pelo $v_i$ correspondente (que o problema fornece).
3. Some os vetores para obter $T(u)$.
Atalho: se a base $\{u_i\}$ for a canônica, $\alpha_i$ é simplesmente a $i$-ésima coordenada de $u$ — sem sistema. Por isso problemas que dão imagens da canônica são muito mais rápidos.
Lei Geral $T(x,y,\dots)$: mesmo procedimento aplicado a um vetor genérico $(x,y,\dots)$. Os coeficientes $\alpha_i$ saem em função de $x, y, \dots$. Substituir nos $v_i$ dá a expressão fechada de $T$.

Lema dos Geradores da Imagem

Seja $B = \{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ uma base de $U$. Então, o conjunto das saídas $\mathcal{C} = \{T(u_1), T(u_2), \dots, T(u_n)\}$ gera a imagem de $T$.

🎯 Lei Geral: Ex. 1 🎯 Lei Geral: Ex. 8 🎯 Vetor Específico: Ex. 22

13. Análise de Existência e Unicidade

Notação fixada: $n = \dim(U)$ (dimensão do domínio da TL). $k =$ quantidade de vetores do domínio cujas imagens o problema fornece. A análise abaixo classifica o problema comparando $k$ com $n$ e checando se os $k$ vetores dados são LI ou LD.

Caso 1 — $k = n$ e os $k$ vetores são LI: os vetores dados formam uma base completa de $U$. Pelo Teorema da Determinação (Tópico 12), existe uma única TL. As imagens dos vetores fornecidos podem ser quaisquer — não há restrição (não há relação linear no domínio para forçar nada no contradomínio).
Caso 2 — $k < n$ (faltam imagens): os vetores dados não formam base completa. Para construir uma TL é preciso completar com $(n - k)$ vetores LI escolhidos arbitrariamente e atribuir a eles imagens também arbitrárias. Como cada escolha gera uma TL diferente, existem infinitas TLs satisfazendo as condições dadas.
Caso 3 — $k > n$, ou $k \le n$ com os vetores LD: há mais vetores do que dimensão do domínio, ou então existe relação linear entre eles. Suponha que $u_3 = u_1 + u_2$ (ou outra relação). Pela linearidade, é obrigatório que $T(u_3) = T(u_1) + T(u_2)$. Verifique se as imagens fornecidas respeitam essa relação:
- Se sim, a TL existe (e pode ser única ou não, conforme os vetores LI dentre os $k$ formem ou não base — recai no Caso 1 ou Caso 2).
- Se não, não existe TL alguma que cumpra todas as condições — há contradição com algum axioma de linearidade.

🎯 Ex. 7 🎯 Colisão Lógica: Ex. 23 🎯 Faltam Vetores: Ex. 24

14. Núcleo (Ker) e a Transformação Injetora

O Núcleo é o "Buraco Negro". É um subespaço válido que contém todos os elementos de $U$ que colapsam e viram o vetor nulo no destino $V$.

$$ \text{Nuc}(T) = \{ u \in U \mid T(u) = \vec{0} \} $$

Proposição (Injeção)

Seja $T : U \rightarrow V$. $T$ é injetora se, e somente se, $\text{Nuc}(T) = \{\vec{0}\}$.

🎯 Ex. 2 🎯 Ex. 3 🎯 Demonstração: Ex. 4

15. Imagem (Im) e a Transformação Sobrejetora

A Imagem representa a "Pegada real" gerada pelas saídas da máquina (é um subespaço de $V$).

Dica Dimensional

Do espaço menor para um maior (ex: $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$) nunca pode ser sobrejetora por falta de graus de liberdade.

Proposição (Sobrejeção)

$T$ é sobrejetora se, e somente se, a imagem varre o contradomínio inteiro: $\text{Im}(T) = V$.

🎯 Ex. 2 🎯 Ex. 3

16. Vocabulário Oficial e o Teorema do Posto-Nulidade

Posto de $T$: Dimensão numérica da imagem ($\dim \text{Im}(T)$).
Nulidade de $T$: Dimensão numérica do núcleo ($\dim \text{Nuc}(T)$).

Teorema do Núcleo-Imagem

Sejam $U$ e $V$ espaços vetoriais reais com $\dim(U) = n$. Então, a máquina não destrói dimensões, apenas as redistribui:

$$ \dim(U) = \dim(\text{Nuc}(T)) + \dim(\text{Im}(T)) $$

🎯 Ver na Prática: Ex. 5

17. Transformação Bijetora

Gabarita os dois critérios restritivos simultaneamente: é injetora e sobrejetora.

18. Teste de Bijetividade via Determinante (operadores $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$)

Atalho específico para operadores lineares $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ — quando domínio e contradomínio têm a mesma dimensão. Resolve injeção, sobrejeção e bijeção em um único cálculo.

Procedimento

Calcule as imagens da base canônica: $T(e_1), T(e_2), \dots, T(e_n)$. Esses vetores são, simultaneamente, os geradores da imagem $\text{Im}(T)$ (Lema dos Geradores da Imagem, Tópico 12).
Monte a matriz $M$ cujas colunas são $T(e_1), T(e_2), \dots, T(e_n)$. Essa é a matriz canônica do operador. Calcule $\det(M)$.
Aplique o Teorema do Núcleo-Imagem para concluir tudo:
- Se $\det(M) \neq 0$: as $n$ colunas são LI, então $\dim\text{Im}(T) = n$ (posto máximo). Como $\text{Im}(T) \subseteq \mathbb{R}^n$ e tem dimensão $n$, conclui-se $\text{Im}(T) = \mathbb{R}^n$ ⇒ sobrejetora. Pelo teorema $\dim\mathbb{R}^n = \dim\text{Nuc}(T) + \dim\text{Im}(T)$, ou seja $n = \dim\text{Nuc}(T) + n$, logo $\dim\text{Nuc}(T) = 0$ ⇒ $\text{Nuc}(T) = \{0\}$ ⇒ injetora. Portanto, bijetora.
- Se $\det(M) = 0$: as colunas são LD, $\dim\text{Im}(T) < n$ ⇒ não é sobrejetora, e (também pelo teorema) $\dim\text{Nuc}(T) > 0$ ⇒ não é injetora.

Exemplo aplicando o passo 3: seja $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ com $T(e_1) = (1,1,1)$, $T(e_2) = (1,-2,1)$, $T(e_3) = (1,0,-1)$.

Matriz canônica (colunas $=$ imagens dos $e_i$):
$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$.

Calculando o determinante (expansão pela primeira linha):
$\det(M) = 1\cdot[(-2)(-1) - (0)(1)] - 1\cdot[(1)(-1) - (0)(1)] + 1\cdot[(1)(1) - (-2)(1)]$
$= 1\cdot 2 - 1\cdot(-1) + 1\cdot 3 = 2 + 1 + 3 = 6 \neq 0$.

Conclusão direta:
— Colunas LI ⇒ $\dim\text{Im}(T) = 3 = \dim\mathbb{R}^3$ ⇒ $\text{Im}(T) = \mathbb{R}^3$ ⇒ sobrejetora.
— Teorema Núcleo-Imagem: $3 = \dim\text{Nuc}(T) + 3$ ⇒ $\dim\text{Nuc}(T) = 0$ ⇒ $\text{Nuc}(T) = \{0\}$ ⇒ injetora.
— Portanto, $T$ é bijetora (isomorfismo).

Como bônus, $\{T(e_1), T(e_2), T(e_3)\} = \{(1,1,1), (1,-2,1), (1,0,-1)\}$ é uma base de $\text{Im}(T) = \mathbb{R}^3$.

🎯 Ver na Prática: Ex. 6

19. Construção de Transformações Lineares (Engenharia Reversa)

A Engenharia da Fábrica

O Chefe é o Domínio: A dimensão do espaço de entrada dita rigorosamente quantos vetores L.I. você precisa configurar.
Distribuição de Tarefas: Os geradores do Núcleo vão obrigatoriamente para o vetor zero. Os vetores restantes vão para os geradores da imagem encomendados.
Apenas Complete o Domínio: Invente elementos (ex: base canônica) para fechar a base de entrada. Nunca invente vetores na imagem.

🎯 Ver na Prática: Ex. 7 🎯 Ver na Prática: Ex. 8

20. Caderno 1: Produto Interno, Projeções e Espaços Ortogonais

Resoluções completas dos exercícios de métrica e geometria em espaços vetoriais.

Exercício 9: O Clássico Euclidiano

Considere o espaço vetorial $\mathbb{R}^3$ com produto interno euclidiano e os vetores $u = (1, 2, 3)$, $v = (3, -5, 8)$, $w = (-2, 2, 7)$. Calcule $\langle u, v \rangle$, $\langle u, w \rangle$, $\langle v, w \rangle$.

Estratégia Como abordar: aplicação direta do produto interno euclidiano em $\mathbb{R}^3$ (Aula 10): para $u=(x_1,x_2,x_3)$ e $v=(y_1,y_2,y_3)$, vale $\langle u,v\rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3$. Não há armadilha — o enunciado fixa o produto canônico, então basta multiplicar componente a componente e somar.
Roteiro: (1) emparelhar coordenadas; (2) somar os três termos com sinal.

Cálculo Direto (Posição $\times$ Posição):

$\langle u, v \rangle = (1)(3) + (2)(-5) + (3)(8) = 3 - 10 + 24 = $ $17$
$\langle u, w \rangle = (1)(-2) + (2)(2) + (3)(7) = -2 + 4 + 21 = $ $23$
$\langle v, w \rangle = (3)(-2) + (-5)(2) + (8)(7) = -6 - 10 + 56 = $ $40$

Exercício 10: Auditoria de Axiomas

Verifique se $\langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^n u_i |v_i|$ define um produto interno em $\mathbb{R}^n$.

Estratégia Como abordar: a Aula 10 define produto interno por 4 axiomas (linearidade na 1ª variável, simetria $\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle$ e positividade $\langle u,u\rangle>0$ para $u\neq 0$). Para provar que algo é produto interno é preciso checar todos; para refutar, basta exibir um contraexemplo em um axioma.
Atalho: a presença de $|v_i|$ quebra a simetria de cara, pois trocar $u\leftrightarrow v$ muda o sinal. Teste com vetores de uma coordenada em $\mathbb{R}^1$ — derruba a função sem álgebra pesada.

O Teste de Simetria: Um produto interno obrigatoriamente exige que $\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$. Vamos testar com um contraexemplo no $\mathbb{R}^1$:
Seja $u = (1)$ e $v = (-1)$.
$\langle u, v \rangle = u_1 |v_1| = 1 \cdot |-1| = 1 \cdot 1 = 1$
$\langle v, u \rangle = v_1 |u_1| = (-1) \cdot |1| = -1 \cdot 1 = -1$
Conclusão: Como $1 \neq -1$, a função falha no axioma da simetria de cara. Não define um produto interno.

Exercício 11 e 12: Matrizes e Produtos Internos no R2

Seja $A = (a_{ij}) \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$. Dados $u = (x_1, x_2)$, $v = (y_1, y_2)$, defina:
$\langle u, v \rangle = a_{11}x_1y_1 + a_{12}x_1y_2 + a_{21}x_2y_1 + a_{22}x_2y_2$.

b.) Mostre que a simetria é satisfeita se, e somente se, $A$ é simétrica.
c.) Qual matriz $A$ leva ao produto interno canônico?
d.) Quais matrizes definem produtos internos válidos?
$A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, A_2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, A_4 = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$

Estratégia Como abordar: a expressão dada é a forma bilinear $\langle u,v\rangle = u^t A v$ em $\mathbb{R}^2$, generalização do produto canônico (Aula 10). Cada item explora um axioma diferente:
(b) Simetria $\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle$ depende só dos coeficientes cruzados $a_{12}$ e $a_{21}$ — comparar termo a termo após trocar $u\leftrightarrow v$.
(c) Produto canônico em $\mathbb{R}^2$ é $x_1y_1+x_2y_2$; isso fixa diagonal $1$ e cruzados $0$ ⇒ matriz identidade.
(d) Para cada $A_i$, aplicar dois filtros em ordem: (1) simetria (descarta rápido); (2) positividade $\langle u,u\rangle>0$ para $u\neq 0$ — usar completar quadrados se simétrica, ou achar $u\neq 0$ com $\langle u,u\rangle\le 0$ para refutar.

(b) Prova da Simetria: Precisamos mostrar que $\langle u,v \rangle = \langle v,u \rangle \iff A = A^T$.

Ponto de partida — $\langle u, v \rangle$ (definição, $u$ entra primeiro):
$\langle u, v \rangle = a_{11}x_1y_1 + \mathbf{a_{12}}x_1y_2 + \mathbf{a_{21}}x_2y_1 + a_{22}x_2y_2$

Calculando $\langle v, u \rangle$ (trocando os papéis — onde havia $x_i$ coloca-se $y_i$ e vice-versa) e usando comutatividade dos reais ($y_j x_i = x_i y_j$):
$\langle v, u \rangle = a_{11}x_1y_1 + \mathbf{a_{12}}x_2y_1 + \mathbf{a_{21}}x_1y_2 + a_{22}x_2y_2$

Comparando os termos cruzados em negrito:
— Em $\langle u,v \rangle$: coeficiente $a_{12}$ multiplica $x_1y_2$, e $a_{21}$ multiplica $x_2y_1$.
— Em $\langle v,u \rangle$: $a_{12}$ multiplica $x_2y_1$, e $a_{21}$ multiplica $x_1y_2$.

Para que as duas expressões sejam idênticas para quaisquer $x_1, x_2, y_1, y_2$, é necessário e suficiente que $a_{12} = a_{21}$, que é exatamente a definição de $A = A^T$. $\blacksquare$

(c) O Canônico: O produto canônico é $x_1y_1 + x_2y_2$. Exige diagonal $1$ e o resto $0$. A matriz é a Identidade $I_2$.

(d) Testando as Matrizes: Exige-se Simetria e Positividade ($\langle u,u \rangle > 0$ para $u \neq 0$).

$A_1$: Simétrica ($a_{12}=a_{21}=1$). Positividade: $\langle u,u \rangle = 2x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Completando quadrados: $x_1^2 + (x_1+x_2)^2 \ge 0$, e é zero só se $x_1=0$ e $x_1+x_2=0$, i.e., $u=0$. SIM, define produto interno.
$A_2$: Não é simétrica ($a_{12}=0 \neq 1=a_{21}$). Falha antes mesmo do teste de positividade. NÃO.
$A_3$: Simétrica. Positividade: $\langle u,u \rangle = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2$. Para $u=(1,-1)$, obtemos $(1-1)^2 = 0$ com $u \neq 0$. Viola o axioma. NÃO.
$A_4$: Simétrica ($a_{12}=a_{21}=1$). Positividade: $\langle u,u \rangle = -x_1^2 + 2x_1x_2 - 2x_2^2$. Para $u=(1,0)$, resulta $-1 < 0$. Viola o axioma. NÃO.

Exercício 13: Produto Interno de Matrizes

Sejam $V = \mathbb{M}_2(\mathbb{R})$, $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Considerando $\langle X, Y \rangle = \text{tr}(Y^t X)$, calcule $\langle A, B \rangle$, $\|A\|$ e $\|B - A\|$.

Estratégia Como abordar: exemplo do produto interno canônico em $M_2(\mathbb{R})$ (Aula 10): $\langle X,Y\rangle = \text{tr}(Y^t X)$, equivalente a somar entrada por entrada. Norma $\|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle}$ e distância $d(A,B)=\|B-A\|$ derivam direto disso (Aula 10).
Roteiro: (1) $\langle A,B\rangle$ via $\text{tr}(B^t A)$; (2) $\|A\|^2 = \text{tr}(A^t A)$; (3) montar $D=B-A$ e aplicar $\|D\| = \sqrt{\text{tr}(D^t D)}$.

1. Calculando $\langle A, B \rangle$:
$B^t A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Traço é a soma da diagonal: $0 + 0 = 0$. Logo, $\langle A, B \rangle = $ $0$. (Eles são ortogonais!)

2. Calculando a Norma $\|A\|$: $\|A\|^2 = \langle A, A \rangle = \text{tr}(A^t A)$.
$A^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Multiplicando:
$A^t A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0+1\cdot1 & 0\cdot1+1\cdot1 \\ 1\cdot0+1\cdot1 & 1\cdot1+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
Traço $= 1 + 2 = 3$. Logo, $\|A\| = \sqrt{3}$.

3. Calculando Distância $\|B - A\|$:
Matriz diferença: $D = B - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$.
$D$ é simétrica, então $D^t = D$. Calculando $D^t D = D^2$:
$D^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & -1+1 \\ -1+1 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.
Traço $= 2 + 2 = 4$. Norma $= \sqrt{4} = $ $2$.

Exercício 14: Distância com Integral

Seja $V = \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ com o produto interno $\langle p, q \rangle = \int_0^1 p(x)q(x)dx$. Calcule a distância $d(u, v)$ onde $u = 1 + x$ e $v = \frac{3}{4}x + 3x^2$.

Estratégia Como abordar: distância em espaço de polinômios com produto interno via integral (Aula 10). $d(u,v) = \|u-v\| = \sqrt{\langle w,w\rangle}$, com $\langle w,w\rangle = \int_0^1 w(x)^2 dx$.
Roteiro: (1) $w = u-v$ (vetor diferença); (2) expandir $w^2$ por trinômio; (3) integrar termo a termo com $\int_0^1 x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}$; (4) tirar raiz no fim.

1. Vetor Diferença: $d(u,v) = \|u - v\|$.
$w = u - v = 1 + \frac{1}{4}x - 3x^2$.

2. O Produto Interno (Elevando ao Quadrado):
Usando a fórmula do trinômio: $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, com $a=1$, $b=\frac{1}{4}x$, $c=-3x^2$:
$(1)^2 + (\tfrac{1}{4}x)^2 + (-3x^2)^2 + 2(1)(\tfrac{1}{4}x) + 2(1)(-3x^2) + 2(\tfrac{1}{4}x)(-3x^2)$
$= 1 + \tfrac{1}{16}x^2 + 9x^4 + \tfrac{1}{2}x - 6x^2 - \tfrac{3}{2}x^3$
Agrupando os termos de $x^2$: $\tfrac{1}{16} - 6 = \tfrac{1-96}{16} = -\tfrac{95}{16}$.
Integrando: $\|w\|^2 = \int_0^1 \left(1 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{95}{16}x^2 - \tfrac{3}{2}x^3 + 9x^4\right)dx$.

3. Resolvendo a Integral:
Aplicando a regra da potência $\int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1}$:
$= 1 + \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} - \tfrac{95}{16}\cdot\tfrac{1}{3} - \tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{4} + 9\cdot\tfrac{1}{5}$
$= 1 + \tfrac{1}{4} - \tfrac{95}{48} - \tfrac{3}{8} + \tfrac{9}{5}$
MMC de $\{1, 4, 48, 8, 5\} = 240$:
$= \tfrac{240 + 60 - 475 - 90 + 432}{240} = \tfrac{167}{240}$.
A distância é $d(u,v) = \sqrt{\dfrac{167}{240}}$.

Exercícios 15 e 16: Extração de Subespaço Ortogonal

Ex 15: Em $\mathbb{R}^4$, seja $W = [(1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1)]$. Determine base para $W^\perp$.
Ex 16: Em $\mathbb{R}^2$, seja $U = \{(x,y) : y - 2x = 0\}$. Determine o subespaço $U^\perp$.

Estratégia Como abordar: Aula 13 dá o atalho: $v \in W^\perp$ basta ser ortogonal a cada gerador de $W$ (não precisa testar todos os infinitos vetores de $W$). Cada condição $\langle v, w_i\rangle = 0$ vira uma equação linear nas coordenadas de $v$.
Roteiro: (1) montar uma equação por gerador; (2) resolver o sistema (geralmente isolando variáveis dependentes); (3) escrever o vetor genérico em função das variáveis livres; (4) cada variável livre dá um vetor da base de $W^\perp$.

Solução Ex 15 ($\mathbb{R}^4$): Um vetor $v=(x,y,z,w)$ está em $W^\perp$ se for ortogonal a ambos os geradores de $W$.

Condição 1 — ortogonal a $(1,0,1,1)$:
$\langle v, (1,0,1,1)\rangle = x + z + w = 0 \implies z = -x - w$

Condição 2 — ortogonal a $(1,1,0,1)$:
$\langle v, (1,1,0,1)\rangle = x + y + w = 0 \implies y = -x - w$

Vetor genérico substituindo $y$ e $z$: $(x,\ -x-w,\ -x-w,\ w)$.
Separando em variáveis livres $x$ e $w$: $x(1,-1,-1,0) + w(0,-1,-1,1)$.
Base de $W^\perp = \mathbf{\{(1,-1,-1,0),\ (0,-1,-1,1)\}}$.

Solução Ex 16 ($\mathbb{R}^2$): De $y - 2x = 0$, a base de $U$ é $(1, 2)$.
Ortogonalidade: $\langle (x,y), (1,2) \rangle = 0 \implies x + 2y = 0 \implies x = -2y$.
Substituindo genérico: $(-2y, y) = y(-2, 1)$. Base de $U^\perp = $ $\{(-2, 1)\}$.

Exercício 18: Projeção com Perigo Real no R3

Considere o $\mathbb{R}^3$ com produto interno canônico. Obtenha a projeção do vetor $v = (3,0,2)$ sobre o subespaço $W = [(1,0,-2), (1,1,1)]$.

Estratégia Como abordar: projeção ortogonal $\text{proj}_W v$ (Aula 14) tem fórmula fechada $\sum \tfrac{\langle v,w_i\rangle}{\|w_i\|^2}w_i$, mas só funciona se $\{w_i\}$ for base ortogonal. Sempre testar $\langle u_1, u_2\rangle$ antes de aplicar.
Roteiro: (1) checar se geradores são ortogonais; (2) se não, aplicar Gram-Schmidt (Aula 12) para fabricar base ortogonal; (3) aplicar a fórmula de projeção sobre cada vetor da nova base; (4) somar projeções.

1. Alerta Vermelho de Prova! A fórmula da projeção exige base ortogonal. Os vetores $W$ NÃO são ortogonais ($\langle u_1, u_2 \rangle = -1 \neq 0$). Aplique Gram-Schmidt antes!

2. Gram-Schmidt em W:
Fixamos $w_1 = (1,0,-2)$. Norma quadrada: $\|w_1\|^2 = 1+0+4 = 5$.

Produto interno cruzado: $\langle u_2, w_1 \rangle = (1)(1)+(1)(0)+(1)(-2) = -1$.

$w_2 = (1,1,1) - \frac{-1}{5}(1,0,-2) = (1,1,1) + \left(\tfrac{1}{5}, 0, -\tfrac{2}{5}\right) = \left(\tfrac{6}{5}, 1, \tfrac{3}{5}\right)$.
Multiplicando por 5 (preserva direção, elimina frações): $w_2' = (6, 5, 3)$. Norma quadrada: $36+25+9 = 70$.

3. Calculando a Projeção Real:
Coeficiente em $w_1$: $\langle (3,0,2),(1,0,-2)\rangle = 3+0-4 = -1$. Fração: $\dfrac{-1}{5}$.
Coeficiente em $w_2'$: $\langle (3,0,2),(6,5,3)\rangle = 18+0+6 = 24$. Fração: $\dfrac{24}{70} = \dfrac{12}{35}$.

$\text{Proj}_W v = -\tfrac{1}{5}(1,0,-2) + \tfrac{12}{35}(6,5,3)$
Usando MMC 35:
Coord. $x$: $-\tfrac{7}{35} + \tfrac{72}{35} = \tfrac{65}{35} = \tfrac{13}{7}$
Coord. $y$: $0 + \tfrac{60}{35} = \tfrac{12}{7}$
Coord. $z$: $\tfrac{14}{35} + \tfrac{36}{35} = \tfrac{50}{35} = \tfrac{10}{7}$
$\text{Proj}_W v = \mathbf{\left(\tfrac{13}{7}, \tfrac{12}{7}, \tfrac{10}{7}\right)}$.

Exercício 19: Projeção com Produto Interno de Pontos

Considere $P_2(\mathbb{R})$ com o produto interno $\langle p, q \rangle = p(-2)q(-2) + p(0)q(0) + p(1)q(1)$. Determine a projeção de $p(x) = x^2 - 4$ sobre $W = [x - 1]$.

Estratégia Como abordar: projeção sobre reta $W=[q]$ tem fórmula direta (Aula 14): $\text{proj}_W p = \tfrac{\langle p,q\rangle}{\|q\|^2}q$. Como há um único gerador, não precisa de Gram-Schmidt — só ter cuidado com o produto interno definido (aqui por valores nos pontos $-2,0,1$, não integral).
Roteiro: (1) avaliar $p$ e $q$ nos três pontos fixos do produto; (2) calcular $\langle p,q\rangle$ e $\|q\|^2$ como produto de pares de valores; (3) substituir na fórmula.

1. Avaliando os Polinômios: Seja $q(x) = x-1$.
$p(-2) = 0, \ p(0) = -4, \ p(1) = -3$.
$q(-2) = -3, \ q(0) = -1, \ q(1) = 0$.

2. Cálculo:
$\langle p, q \rangle = (0)(-3) + (-4)(-1) + (-3)(0) = 4$.
$\|q\|^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + (0)^2 = 10$.

3. Aplicando a Projeção:
$\text{Proj}_W p = \frac{4}{10}(x - 1) = \mathbf{\frac{2}{5}x - \frac{2}{5}}$.

Exercício 20: Melhor Aproximação com Integrais

Seja $V = P_3(\mathbb{R})$ com produto interno $\langle p, q \rangle = \int_0^1 p(x)q(x)dx$. Encontre o polinômio de grau $\le 1$ que melhor aproxima $p(x) = x^3$.

Estratégia Como abordar: pelo Teorema da Melhor Aproximação (Aula 14), o elemento de $W$ mais próximo de $p$ é exatamente $\text{proj}_W p$. Logo "melhor aproximação por polinômio de grau $\le 1$" = projetar $x^3$ em $W = [1,x]$.
Roteiro: (1) identificar que aproximação $=$ projeção; (2) verificar que $\{1,x\}$ não é ortogonal nessa integral — aplicar Gram-Schmidt; (3) projetar $x^3$ em cada vetor da base ortogonal e somar.

1. Entendendo a Teoria: "Melhor aproximação" é sinônimo de Projeção Ortogonal. O subespaço de grau $\le 1$ é $W = [1, x]$.

2. Gram-Schmidt na Base W: A base $\{1, x\}$ NÃO é ortogonal na integral de 0 a 1 ($\int_0^1 1\cdot x\,dx = \tfrac{1}{2} \neq 0$).

Fixamos $w_1 = 1$. Norma quadrada: $\|w_1\|^2 = \int_0^1 1\,dx = 1$.

Produto interno cruzado: $\langle x, 1\rangle = \int_0^1 x\,dx = \tfrac{1}{2}$.

$w_2 = x - \dfrac{1/2}{1}\cdot 1 = x - \tfrac{1}{2}$.
Norma quadrada: $\|w_2\|^2 = \int_0^1 \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2 dx = \int_0^1 \left(x^2 - x + \tfrac{1}{4}\right)dx = \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{12}$.

3. Projetando $x^3$ na base ortogonal $\{1,\ x-\frac{1}{2}\}$:

Coeficiente em $w_1$: $\langle x^3, 1\rangle = \int_0^1 x^3\,dx = \tfrac{1}{4}$. Fração: $\dfrac{1/4}{1} = \dfrac{1}{4}$.

Coeficiente em $w_2$: $\langle x^3, x-\tfrac{1}{2}\rangle = \int_0^1 x^3\left(x-\tfrac{1}{2}\right)dx = \int_0^1 \left(x^4 - \tfrac{1}{2}x^3\right)dx = \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{8} = \tfrac{3}{40}$. Fração: $\dfrac{3/40}{1/12} = \dfrac{3\cdot12}{40} = \dfrac{9}{10}$.

$\text{Proj}_W(x^3) = \tfrac{1}{4}(1) + \tfrac{9}{10}\left(x - \tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{4} + \tfrac{9}{10}x - \tfrac{9}{20} = \tfrac{9}{10}x - \tfrac{1}{5}$
Melhor aproximação de grau $\le 1$: $\mathbf{\dfrac{9}{10}x - \dfrac{1}{5}}$.

Exercício 21: Construção de Base Ortogonal em P3

Considere $P_3(\mathbb{R})$ com produto interno de integral $\int_0^1 f(x)g(x)dx$. Dado $W = [5, 1+x]$, exiba uma base ortonormal de $W^\perp$.

Estratégia Como abordar: exercício combinado das Aulas 11, 12 e 13. Precisa encontrar $W^\perp$ (sistema de integrais), depois ortogonalizar (Gram-Schmidt) e normalizar.
Roteiro: (1) simplificar $W$ trocando geradores por base mais simples; (2) escrever $p \in P_3$ genérico e impor $\langle p,w_i\rangle = 0$ para cada gerador $\Rightarrow$ sistema linear; (3) resolver, extrair geradores de $W^\perp$; (4) Gram-Schmidt nesses geradores (dica: fixar o de menor grau primeiro reduz contas); (5) normalizar dividindo por $\|w_i\|$.

1. Simplificação e Vetor Genérico:
$[5, 1+x]$ gera as mesmas direções que $[1, x]$ (5 é escalar; $1+x$ contém 1 e $x$). Trabalhamos com $[1, x]$ para simplificar as integrais.
Vetor genérico de $P_3$: $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

2. Impondo Ortogonalidade (Sistema de Integrais):

Condição 1 — $\langle p, 1\rangle = 0$:
$\int_0^1 (ax^3+bx^2+cx+d)dx = \tfrac{a}{4}+\tfrac{b}{3}+\tfrac{c}{2}+d = 0$

Condição 2 — $\langle p, x\rangle = 0$:
$\int_0^1 (ax^4+bx^3+cx^2+dx)dx = \tfrac{a}{5}+\tfrac{b}{4}+\tfrac{c}{3}+\tfrac{d}{2} = 0$

3. Resolvendo o Sistema:

Da Eq 1: $d = -\tfrac{a}{4} - \tfrac{b}{3} - \tfrac{c}{2}$.

Substituindo em Eq 2 e calculando (MMC 120):
$\left(\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{8}\right)a + \left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{6}\right)b + \left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}\right)c = 0$
$\tfrac{3}{40}a + \tfrac{1}{12}b + \tfrac{1}{12}c = 0 \xrightarrow{\times 120} 9a + 10b + 10c = 0$
Isolando: $c = -\tfrac{9}{10}a - b$, e de volta: $d = \tfrac{1}{5}a + \tfrac{1}{6}b$.

4. Geradores de $W^\perp$:

$p(x) = a\!\left(x^3 - \tfrac{9}{10}x + \tfrac{1}{5}\right) + b\!\left(x^2 - x + \tfrac{1}{6}\right)$.
Multiplicando por 10 e 6 para eliminar frações: $v_1 = 10x^3 - 9x + 2$ e $v_2 = 6x^2 - 6x + 1$.

5. Gram-Schmidt em $\{v_2, v_1\}$ (fixamos o de menor grau):

$w_1 = v_2 = 6x^2-6x+1$.
$\|w_1\|^2 = \int_0^1(6x^2-6x+1)^2dx = \tfrac{36}{5}-18+16-6+1 = \tfrac{1}{5}$.

$\langle v_1, w_1\rangle = \int_0^1(10x^3-9x+2)(6x^2-6x+1)dx$.
Expandindo e integrando, obtém-se $\langle v_1, w_1\rangle = \tfrac{1}{2}$.

$w_2 = v_1 - \dfrac{1/2}{1/5}w_1 = (10x^3-9x+2) - \tfrac{5}{2}(6x^2-6x+1) = 10x^3-15x^2+6x-\tfrac{1}{2}$.
$\|w_2\|^2 = \tfrac{1}{7}$.

6. Normalização:
$e_1 = \dfrac{w_1}{\|w_1\|} = \sqrt{5}(6x^2-6x+1)$
$e_2 = \dfrac{w_2}{\|w_2\|} = \sqrt{7}\!\left(10x^3-15x^2+6x-\tfrac{1}{2}\right)$
Base ortonormal de $W^\perp$: $\{e_1, e_2\}$.

Exercício 25: Ortogonalidade de Funções Trigonométricas

O conjunto $A = \{\cos(nx) : n = 1, 2, 3, \dots\}$ é ortogonal em $C([0, 2\pi])$?

Estratégia Como abordar: ortogonalidade em espaço de funções contínuas com produto interno integral (Aulas 10, 11): $\langle f,g\rangle = \int_a^b f(x)g(x)dx$, e duas funções são ortogonais quando essa integral zera. Conjunto ortogonal exige que quaisquer dois distintos sejam ortogonais.
Roteiro: (1) tomar $m \neq n$ genéricos; (2) abrir $\cos(mx)\cos(nx)$ via produto-em-soma trigonométrico; (3) integrar — cosseno em período completo $= 0$. Se zera para todo $m\neq n$, ortogonal.

1. Definindo o Produto Interno: O produto em $C([0, 2\pi])$ é dado por $\langle f, g \rangle = \int_0^{2\pi} f(x)g(x) dx$.

2. Avaliando Vetores Diferentes: Sejam $m \neq n$.
$\langle \cos(mx), \cos(nx) \rangle = \int_0^{2\pi} \cos(mx)\cos(nx) dx$.
Usando identidade trigonométrica: $\cos(mx)\cos(nx) = \frac{1}{2}[\cos((m+n)x) + \cos((m-n)x)]$.
A integral do cosseno sobre períodos completos (de $0$ a $2\pi$) é sempre zero. Logo, $\langle \cos(mx), \cos(nx) \rangle = 0$.
Como o produto interno entre vetores distintos é zero, SIM, o conjunto é ortogonal.

Exercício 26: Ortogonalidade com Parâmetro em Polinômios

Seja $V = P_2(\mathbb{R})$. Determine $m$ tal que $f(t) = mt^2 - 1$ é ortogonal a $g(t) = t$,
(1) com respeito a $\langle f,g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t)dt$.
(2) E se mudarmos o intervalo para $[-1, 1]$, o que acontece com $m$?

Estratégia Como abordar: impor a condição de ortogonalidade $\langle f,g\rangle=0$ (Aula 11) com produto integral, isolando o parâmetro $m$. O intervalo importa muito.
Roteiro (1): expandir $fg$, integrar em $[0,1]$, igualar a zero e resolver para $m$.
Atalho (2): no intervalo simétrico $[-1,1]$, se $fg$ é ímpar a integral é sempre zero $\Rightarrow$ ortogonalidade vale para qualquer $m$. Sempre checar paridade quando o intervalo é simétrico.

(1) No intervalo $[0, 1]$: Para ser ortogonal, a integral deve zerar.
$\int_0^1 (mt^2 - 1)t \, dt = \int_0^1 (mt^3 - t) \, dt = \left[ m\frac{t^4}{4} - \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = \frac{m}{4} - \frac{1}{2}$.
Igualando a zero: $\frac{m}{4} - \frac{1}{2} = 0 \implies \frac{m}{4} = \frac{1}{2} \implies$ $m = 2$.

(2) No intervalo $[-1, 1]$:
$\int_{-1}^1 (mt^3 - t) \, dt$. Note que $(mt^3 - t)$ é uma função **ímpar**.
A integral de qualquer função ímpar em um intervalo simétrico (como de $-1$ a $1$) é **sempre zero**, independentemente do valor de $m$.
Logo, o que acontece com $m$? $m$ pode ser qualquer número real ($m \in \mathbb{R}$).

Exercício 27: Verificação de Base Ortonormal

Mostre que $B = \{(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0), (\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, 0), (0, 0, 1)\}$ é um conjunto ortonormal do $\mathbb{R}^3$.

Estratégia Como abordar: definição direta da Aula 11: conjunto ortonormal exige (i) vetores dois-a-dois ortogonais ($\langle v_i, v_j\rangle=0$ para $i\neq j$) e (ii) cada vetor unitário ($\|v_i\|=1$). Testar os dois.
Roteiro: (1) calcular $\binom{n}{2}$ produtos internos cruzados — se algum não zera, falha; (2) calcular $\|v_i\|^2$ para cada vetor — se algum $\neq 1$, falha.

1. Teste de Ortogonalidade (A 90 graus):
$\langle v_1, v_2 \rangle = (-\frac{3}{5})(\frac{4}{5}) + (\frac{4}{5})(\frac{3}{5}) + 0 = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0$.
Os vetores $v_1$ e $v_2$ obviamente batem zero com $v_3$ (pois as coordenadas de $Z$ isolam-se multiplicando por $0$). Ok.

2. Teste de Normalidade (Norma = 1):
$\|v_1\|^2 = (-\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
$\|v_2\|^2 = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
$\|v_3\|^2 = 1^2 = 1$.
Como todos são ortogonais entre si e possuem norma exata 1, está provado.

Exercício 28: Combinação Linear em Base Ortonormal

Usando o resultado anterior, escreva o vetor $u = (3, 5, 1)$ como combinação linear dos vetores do conjunto ortonormal $B = \{(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0), (\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, 0), (0, 0, 1)\}$.

Estratégia Como abordar: Corolário da Aula 11: em base ortonormal $\{v_1,\dots,v_n\}$, vale $u = \sum_{i=1}^n \langle u,v_i\rangle v_i$. Cada coordenada é um produto interno direto — não precisa montar nem resolver sistema linear.
Roteiro: (1) confirmar que a base é ortonormal (feito no Ex 27); (2) calcular $c_i = \langle u, v_i\rangle$ um a um; (3) escrever $u = c_1 v_1 + \dots + c_n v_n$.

Atalho Supremo de Prova: Não monte um sistema linear 3x3! Como a base já é Ortonormal (provado no Ex 27), os coeficientes da combinação $u = c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3$ são simplesmente o cálculo direto do produto interno: $c_i = \langle u, v_i \rangle$.

Calculando:
$c_1 = \langle (3,5,1), (-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0) \rangle = -\frac{9}{5} + \frac{20}{5} = \mathbf{\frac{11}{5}}$.
$c_2 = \langle (3,5,1), (\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, 0) \rangle = \frac{12}{5} + \frac{15}{5} = \mathbf{\frac{27}{5}}$.
$c_3 = \langle (3,5,1), (0,0,1) \rangle = \mathbf{1}$.
Combinação final: $u = \frac{11}{5}v_1 + \frac{27}{5}v_2 + 1v_3$.

Exercício 29: Teorema de Pitágoras Generalizado

Seja $V$ um espaço vetorial real munido de um produto interno e sejam $u, v \in V$. Mostre que $u$ e $v$ são ortogonais se, e somente se, $\|u+v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2$.

Estratégia Como abordar: demonstração "se, e somente se" — duas implicações. A chave é a identidade $\|u+v\|^2 = \|u\|^2 + 2\langle u,v\rangle + \|v\|^2$ (Aula 10, sai da bilinearidade $\langle u+v, u+v\rangle$). Pitágoras emerge quando o termo cruzado some.
Roteiro: (1) expandir $\|u+v\|^2$ usando linearidade do produto interno; (2) Ida ($\Rightarrow$): se ortogonais, $\langle u,v\rangle=0$ apaga o termo cruzado; (3) Volta ($\Leftarrow$): igualdade de Pitágoras força $2\langle u,v\rangle=0$.

1. Abrindo a Norma (A Expansão Algébrica): Lembre-se que $\|w\|^2 = \langle w, w \rangle$.
$\|u+v\|^2 = \langle u+v, u+v \rangle$.
Fazendo a distributiva pelos axiomas do produto interno:
$\langle u,u \rangle + \langle u,v \rangle + \langle v,u \rangle + \langle v,v \rangle$.
Pela simetria ($\langle u,v \rangle = \langle v,u \rangle$):
$\|u\|^2 + 2\langle u,v \rangle + \|v\|^2$.

2. A Ida ($\Rightarrow$): Assuma que $u$ e $v$ são ortogonais. Então $\langle u,v \rangle = 0$.
Substituindo na expansão: $\|u\|^2 + 2(0) + \|v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2$. Provado.

3. A Volta ($\Leftarrow$): Assuma a hipótese de que $\|u+v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2$.
Substituindo a expansão que fizemos no Passo 1:
$\|u\|^2 + 2\langle u,v \rangle + \|v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2$.
Cancelando as normas dos dois lados, sobra: $2\langle u,v \rangle = 0 \implies \langle u,v \rangle = 0$. Logo, são ortogonais. Provado!

Exercício 30: Gram-Schmidt do Zero

Obtenha uma base ortonormal do $\mathbb{R}^3$ a partir do conjunto $v_1 = (1,1,1)$, $v_2 = (1,-1,1)$ e $v_3 = (-1,0,1)$.

Estratégia Como abordar: aplicação canônica do processo de Gram-Schmidt (Aula 12): a partir de uma base qualquer LI, construir base ortogonal preservando o subespaço gerado, depois normalizar para ortonormal. Fórmula: $w_1 = v_1$, $w_{k+1} = v_{k+1} - \sum_{j=1}^k \tfrac{\langle v_{k+1}, w_j\rangle}{\|w_j\|^2}w_j$.
Roteiro: (1) fixar $w_1 = v_1$; (2) para cada $v_k$ seguinte, subtrair projeções nos $w_j$ anteriores; (3) truque: multiplicar $w_k$ por escalar para limpar frações (preserva direção, simplifica conta); (4) no fim, dividir cada $w_k$ por $\|w_k\|$ para ortonormalizar.

1. Aplicando Gram-Schmidt:
Fixamos $w_1 = (1,1,1)$. Norma quadrada: $\|w_1\|^2 = 1+1+1 = 3$.

Produto interno cruzado: $\langle v_2, w_1\rangle = (1)(1)+(-1)(1)+(1)(1) = 1$.
$w_2 = (1,-1,1) - \dfrac{1}{3}(1,1,1) = \left(\tfrac{2}{3}, -\tfrac{4}{3}, \tfrac{2}{3}\right)$.
Multiplicando por 3 para eliminar frações: $w_2' = (2,-4,2)$. Norma quadrada: $4+16+4 = 24$.

Produtos internos de $v_3$ com $w_1$ e $w_2'$:
$\langle v_3, w_1\rangle = (-1)(1)+(0)(1)+(1)(1) = 0$
$\langle v_3, w_2'\rangle = (-1)(2)+(0)(-4)+(1)(2) = 0$
Ambas as projeções zeram — $v_3$ já é ortogonal aos dois anteriores.
$w_3 = (-1,0,1)$. Norma quadrada: $1+0+1 = 2$.

2. Normalização (Ortonormal): Dividimos cada vetor pela sua norma ($\|w_1\|=\sqrt{3}$, $\|w_2'\|=\sqrt{24}$, $\|w_3\|=\sqrt{2}$).
$q_1 = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)}$
$q_2 = \frac{1}{\sqrt{24}}(2,-4,2) = \frac{1}{2\sqrt{6}}(2,-4,2) = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)}$
$q_3 = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)}$

Exercício 31: Base Ortogonal a partir de Equações no R4

Determine uma base ortogonal do subespaço $U = \{(x,y,z,w) : x-y-z=0, \ z-2w=0\} \subset \mathbb{R}^4$.

Estratégia Como abordar: dois passos clássicos: (i) parametrizar o subespaço definido por equações homogêneas para extrair uma base; (ii) ortogonalizar via Gram-Schmidt (Aula 12).
Roteiro: (1) resolver o sistema isolando variáveis dependentes em função das livres; (2) escrever o vetor genérico e separar pelos parâmetros livres — cada parâmetro gera um vetor da base; (3) aplicar Gram-Schmidt nos geradores extraídos.

1. Extraindo a Base Original: Isolando as variáveis temos $z = 2w$ e $x = y + z = y + 2w$.
O vetor genérico fica: $(y+2w, y, 2w, w) = y(1,1,0,0) + w(2,0,2,1)$.
Os geradores são $v_1 = (1,1,0,0)$ e $v_2 = (2,0,2,1)$.

2. Aplicando Gram-Schmidt:
$w_1 = (1,1,0,0)$. A norma quadrada é $\|w_1\|^2 = 2$.
$w_2 = (2,0,2,1) - \frac{\langle (2,0,2,1), (1,1,0,0) \rangle}{2}(1,1,0,0) = (2,0,2,1) - \frac{2}{2}(1,1,0,0)$.
$w_2 = (2,0,2,1) - (1,1,0,0) = (1,-1,2,1)$.
A base ortogonal gerada é $\{(1,1,0,0), (1,-1,2,1)\}$.

Exercício 32: Gram-Schmidt em Matrizes 2x2

Encontre uma base ortonormal do subespaço $W = \left\{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} : x+y-z=0 \right\} \subset M_2(\mathbb{R})$.

Estratégia Como abordar: mesma estrutura do Ex 31, mas em $M_2(\mathbb{R})$ com produto interno canônico $\langle A,B\rangle = \text{tr}(A^t B)$ (Aula 10) — equivalente à soma das 4 entradas multiplicadas. Gram-Schmidt (Aula 12) opera igual, só que com matrizes em vez de vetores.
Roteiro: (1) usar a restrição para parametrizar a matriz genérica; (2) extrair geradores matriciais $M_1, M_2, M_3$; (3) Gram-Schmidt com $\langle A,B\rangle = \text{tr}(A^t B)$; (4) normalizar dividindo por $\sqrt{\langle W_i,W_i\rangle}$.

1. Extraindo a Base Original: Da restrição, temos $z = x+y$.
Matriz genérica: $\begin{pmatrix} x & y \\ x+y & t \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Geradores: $M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

2. Aplicando Gram-Schmidt (Produto Interno $\langle A,B\rangle = \text{tr}(A^T B)$):
$W_1 = M_1$. Norma quadrada: soma dos quadrados dos elementos $= 1^2+0^2+1^2+0^2 = 2$.

Calculando $\langle M_2, W_1\rangle = \text{tr}(W_1^T M_2)$:
$W_1^T = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$, então $W_1^T M_2 = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$. Traço $= 1$.

$W_2 = M_2 - \dfrac{1}{2}W_1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1/2&0\\1/2&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1/2&1\\1/2&0\end{pmatrix}$.
Multiplicando por 2: $W_2' = \begin{pmatrix}-1&2\\1&0\end{pmatrix}$. Norma quadrada: $1+4+1+0 = 6$.

Para $M_3$: $\langle M_3,W_1\rangle = \text{tr}\!\left(\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right) = \text{tr}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = 0$.
$\langle M_3,W_2'\rangle = \text{tr}\!\left(\begin{pmatrix}-1&1\\2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right) = \text{tr}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = 0$.
$M_3$ já é ortogonal às duas anteriores: $W_3 = M_3$. Norma quadrada: $0+0+0+1 = 1$.

3. Normalização (Ortonormal): Dividimos cada matriz pela sua raiz quadrada da norma ($\sqrt{2}, \sqrt{6}, \sqrt{1}$):
$N_1 = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$, \ \ $N_2 = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$, \ \ $N_3 = \mathbf{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$.

21. Caderno 2: Transformações Lineares

Compilação exata dos exercícios resolvidos focando no DNA da máquina, injeção, sobrejeção e testes teóricos.

Exercício 17: Verificação da Linearidade (Teste Rápido)

Verifique se as aplicações $T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ abaixo são transformações lineares:
1. $T(x,y) = (x + 2, y)$ (Translação)
2. $T(x,y) = (x + y, y)$ (Cisalhamento)

Estratégia Como abordar: Aula 15: $T$ é linear $\iff T(\lambda u + v) = \lambda T(u) + T(v)$, equivalente aos dois axiomas (aditividade + homogeneidade). Consequência imediata: $T(0)=0$ — se falhar, refutado de cara.
Atalho mortal: sempre comece pelo "teste do zero" $T(0) \stackrel{?}{=} 0$. Se sim, ainda precisa verificar formalmente os axiomas. Se não, já refutou sem trabalho algébrico.

(1) Translação: O golpe de vista (Teste do Zero)!
Calculando $T(0,0)$ na primeira função temos $(0 + 2, 0) = (2, 0)$.
Como a origem NÃO foi mapeada na origem ($T(0) \neq 0$), a máquina viola estruturalmente os axiomas. NÃO é linear.

(2) Cisalhamento: Passou no teste do zero. Vamos aplicar as regras formais:
Aditividade: $T(u+v) = T(x_1+x_2, y_1+y_2) = (x_1+x_2+y_1+y_2, y_1+y_2)$.
Separando os vetores: $(x_1+y_1, y_1) + (x_2+y_2, y_2) = T(u) + T(v)$. Verdadeiro.
Homogeneidade: $T(\lambda u) = (\lambda x + \lambda y, \lambda y) = \lambda(x+y, y) = \lambda T(u)$. Verdadeiro.
Como gabaritou as duas regras, o Cisalhamento É uma transformação linear.

Exercício 1: O "DNA" na Base Canônica

Determine a transformação linear $T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ que satisfaz: $T(1,0,0) = (1,1,0)$, $T(0,0,1) = (0,0,2)$, $T(0,1,0) = (1,1,2)$.

Estratégia Como abordar: Teorema da Determinação (Aula 15): uma TL fica unicamente determinada pelas imagens de uma base do domínio. Quando essa base é a canônica, a lei sai sem sistema: $T(x_1,\dots,x_n) = \sum x_i T(e_i)$.
Roteiro: (1) observar que os vetores dados são $e_1, e_2, e_3$ embaralhados; (2) decompor $(x,y,z) = xe_1 + ye_2 + ze_3$; (3) aplicar linearidade direto.

O Pulo do Gato: Os vetores de entrada formam a base canônica, eliminando o sistema linear.

Resolução:

$$ T(x,y,z) = x \cdot T(1,0,0) + y \cdot T(0,1,0) + z \cdot T(0,0,1) $$

$$ T(x,y,z) = x(1,1,0) + y(1,1,2) + z(0,0,2) $$

Distribuindo e somando as coordenadas:

$$ T(x,y,z) = \mathbf{(x+y, x+y, 2y+2z)} $$

Exercício 22: Imagem de Vetor Específico (DNA)

Seja $\{(1,2), (3,4)\}$ base de $\mathbb{R}^2$. Existe uma única transformação linear tal que $T(1,2) = (3,2,1)$ e $T(3,4) = (6,5,4)$. Qual é a imagem de $(1,0)$ por essa transformação?

Estratégia Como abordar: Teorema da Determinação (Aula 15) — mas agora a base de entrada não é canônica, então não há atalho direto. Precisa decompor o vetor-alvo na base dada para depois aplicar linearidade.
Roteiro: (1) escrever $(1,0) = a(1,2) + b(3,4)$ e resolver para $a,b$; (2) aplicar $T(1,0) = aT(1,2) + bT(3,4)$.

1. Descobrir os Coeficientes: Precisamos escrever $(1,0)$ como combinação linear da base.
$(1,0) = a(1,2) + b(3,4)$
Eq 1: $a + 3b = 1$
Eq 2: $2a + 4b = 0 \implies a = -2b$
Substituindo na Eq 1: $-2b + 3b = 1 \implies b = 1$. E como $a = -2b$, temos $a = -2$.
Combinação linear: $(1,0) = -2(1,2) + 1(3,4)$.

2. Aplicar a Transformação Linear:
$T(1,0) = -2 \cdot T(1,2) + 1 \cdot T(3,4)$
$T(1,0) = -2(3,2,1) + (6,5,4)$
$T(1,0) = (-6,-4,-2) + (6,5,4) = \mathbf{(0,1,2)}$

Exercício 23: Colisão Lógica e Existência

Existe um operador linear $T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que $T(1,1,1) = (1,2,3)$, $T(1,2,3) = (1,4,9)$ e $T(2,3,4) = (1,8,27)$? Justifique.

Estratégia Como abordar: o Teorema da Determinação (Aula 15) exige que as imagens prescritas sejam consistentes com as relações lineares dos vetores de entrada. Se $v_3 = v_1 + v_2$, então por linearidade $T(v_3) = T(v_1) + T(v_2)$ — obrigatório. Se a imagem dada viola isso, $T$ não existe.
Roteiro: (1) testar se os vetores de entrada são LI (LD?); (2) se LD, achar a relação linear; (3) verificar se as imagens respeitam a mesma relação; (4) se não respeitam, refutar.

1. Análise Lógica do Domínio: Verificamos se os três vetores de entrada são L.I. ou L.D.
Observando: $(1,1,1) + (1,2,3) = (2,3,4)$. O terceiro vetor é exatamente a soma dos dois primeiros — portanto são L.D.

2. Auditoria da Linearidade: O axioma da aditividade exige que $T(u+v) = T(u) + T(v)$ para toda transformação linear.

Como $(2,3,4) = (1,1,1)+(1,2,3)$, a linearidade impõe obrigatoriamente:
$T(2,3,4) = T(1,1,1) + T(1,2,3) = (1,2,3)+(1,4,9) = (2,6,12)$

O enunciado exige $T(2,3,4) = (1,8,27)$. Como $(2,6,12) \neq (1,8,27)$, há uma contradição irreconciliável com o axioma da aditividade.
Conclusão: Não existe tal operador linear.

Exercício 24: Completamento de Base e Unicidade

Existe uma transformação linear $T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ tal que $T(1,1,1) = (1,0)$ e $T(-1,0,1) = (0,1)$? Justifique sua resposta.

Estratégia Como abordar: espelho do Ex 23. Teorema da Determinação (Aula 15) garante unicidade só com uma base inteira do domínio. Com vetores LI parciais, há liberdade para escolher imagens dos vetores complementares — gera infinitas TLs.
Roteiro: (1) verificar LI dos vetores dados; (2) comparar a quantidade com $\dim(U)$; (3) se faltam vetores, completar a base (pode escolher livremente) e mostrar que existem múltiplas extensões $\Rightarrow$ infinitas TLs.

1. Análise do Domínio: O domínio é $\mathbb{R}^3$ (dimensão 3). Pelo Teorema da Determinação (tópico 12), uma transformação linear fica unicamente determinada quando fornecemos as imagens de uma base do domínio — são necessários exatamente 3 vetores L.I. O problema fornece apenas 2 vetores, que são claramente L.I. entre si.

2. O Veredito: Como os dois vetores dados são L.I., eles podem ser completados a uma base de $\mathbb{R}^3$ adicionando qualquer vetor L.I. a ambos (por exemplo, $(0,0,1)$). Para cada escolha da imagem desse terceiro vetor, obtemos uma transformação linear diferente que satisfaz as duas condições impostas.

Sim, existem transformações lineares satisfazendo as condições. Na verdade, existem infinitas delas (tantas quantas forem as escolhas para a imagem do vetor completador).

Exercício 2: Injeção e Sobrejeção Rápida

Verifique se a transformação linear $T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, dada por $T(x,y) = (2x - y, x + y)$, é injetora. T é sobrejetora?

Estratégia Como abordar: Aula 16: $T$ é injetora $\iff \text{Nuc}(T) = \{0\}$; é sobrejetora $\iff \text{Im}(T)=V$. O Teorema do Núcleo-Imagem $\dim U = \dim\text{Nuc}(T) + \dim\text{Im}(T)$ liga tudo.
Roteiro: (1) Injeção: resolver $T(u)=0$ — se única solução é $u=0$, injetora. (2) Sobrejeção: usar o teorema (atalho) ou resolver $T(u)=(a,b)$ genérico. Em $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, injetora $\Leftrightarrow$ sobrejetora automaticamente.

1. Teste de Injeção (Núcleo): Igualamos a lei ao vetor nulo $(0,0)$.
Eq1: $2x - y = 0$
Eq2: $x + y = 0 \implies y = -x$
Substituindo na Eq1: $2x - (-x) = 0 \implies 3x = 0 \implies x = 0$ e $y = 0$.
Como $\text{Nuc}(T) = \{(0,0)\}$, Sim, é injetora.

2. Teste de Sobrejeção (Duas Formas):

Método 1 (Atalho Dimensional):
$\dim(\text{Domínio}) = \dim(\text{Núcleo}) + \dim(\text{Imagem})$
$2 = 0 + \dim(\text{Imagem}) \implies \dim(\text{Imagem}) = 2$.
Como a dimensão da Imagem (2) é igual à dimensão do Contradomínio ($\mathbb{R}^2$), Sim, é sobrejetora.

Método 2 (Vetor Genérico):
Eq1: $2x - y = a$
Eq2: $x + y = b$
Somando as equações: $3x = a + b \implies x = \frac{a+b}{3}$. Substituindo $x$: $y = \frac{2b-a}{3}$.
O sistema sempre tem solução para qualquer $(a,b)$. Sim, é sobrejetora.

Exercício 3: O Atalho Dimensional

Determine o núcleo e imagem da transformação $T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$, dada por $T(x,y) = (x - y, x, x + y)$ e responda se T é bijetora.

Estratégia Como abordar: aplicação direta das definições da Aula 16. Núcleo via $T(u)=0$; imagem via aplicar $T$ na base do domínio (resultados geram $\text{Im}(T)$ — Lema da Aula 16). Bijetora exige injetora + sobrejetora.
Roteiro: (1) Núcleo: sistema $T(u)=0$ — se só zero, injetora; (2) Imagem: $T(e_1),T(e_2)$ formam gerador; calcular posto; (3) Sobrejetora $\Leftrightarrow$ posto $=$ dim do contradomínio. Em $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$, posto máximo $=2<3$, então nunca sobrejetora.

1. Núcleo:
$x - y = 0$, $x = 0$, $x + y = 0$.
Logo, $x = 0$ e $y = 0$. $\text{Nuc}(T) = \{(0,0)\}$. É injetora.

2. Imagem: Jogamos a base do $\mathbb{R}^2$ na máquina.
$T(1,0) = (1, 1, 1)$ e $T(0,1) = (-1, 0, 1)$
$\text{Imagem} = \text{ger}\{(1,1,1), (-1,0,1)\}$. Posto = 2.

3. Veredito: Como a dimensão da Imagem (2) é menor que o espaço de destino (3). Não é sobrejetora. Logo, Não é bijetora.

Exercício 4: Demonstração Teórica "L.I. e L.I."

Sejam $U$ e $V$ espaços vetoriais. Prove que $T$ é injetora se, e somente se, $T$ leva conjunto de vetores L.I. de $U$ em um conjunto L.I. em $V$.

Estratégia Como abordar: demonstração "se, e somente se" envolvendo a definição de injetividade da Aula 16 ($\text{Nuc}(T)=\{0\}$) e de LI. As duas direções usam a linearidade e a equivalência "$T(u)=0 \Rightarrow u=0$".
Roteiro Ida ($\Rightarrow$): partir de combinação $\sum c_i T(u_i)=0$, puxar $T$ para fora pela linearidade, aplicar injeção, usar LI dos $u_i$. Volta ($\Leftarrow$): por absurdo, $u\neq 0$ no núcleo dá $\{u\}$ LI mas $\{T(u)\}=\{0\}$ LD — contradição.

A Ida ($\Rightarrow$): Assuma T injetora ($\text{Nuc} = \{0\}$).
Com $\{u_1, \dots, u_k\}$ L.I., teste a imagem fazendo: $c_1T(u_1) + \dots + c_kT(u_k) = 0$.
Pela linearidade: $T(c_1u_1 + \dots + c_ku_k) = 0$.
Pela injeção, o que está dentro do T é zero obrigatoriamente: $c_1u_1 + \dots + c_ku_k = 0$.
Como os $u$'s originais são L.I., a única solução é $c = 0$. Logo, as imagens também são L.I.

A Volta ($\Leftarrow$): Assuma que L.I. vira L.I.
Suponha por absurdo $u \neq 0$ no núcleo ($T(u) = 0$). O conjunto unitário $\{u\}$ é L.I.
Pela hipótese, $\{T(u)\}$ deveria ser L.I. também.
Mas $T(u) = 0$, e qualquer conjunto contendo $\{0\}$ é L.D. Contradição gerada! Logo, a hipótese de $u \neq 0$ cai, logo $u = 0$ obrigatoriamente. T é injetora.

Exercício 5: Posto e Nulidade em Matrizes

Determine o núcleo, a imagem, o posto e a nulidade de $T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{M}_2(\mathbb{R})$, dada por:

$$ T(a,b,c) = \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & c-b \end{pmatrix} $$

Estratégia Como abordar: Aula 16: posto $= \dim\text{Im}(T)$, nulidade $= \dim\text{Nuc}(T)$. Teorema do Núcleo-Imagem: $\dim U = \text{nulidade} + \text{posto}$. Espaço-alvo é $M_2(\mathbb{R})$, mas o cálculo é o mesmo — só os "vetores" são matrizes.
Roteiro: (1) Nuc: impor $T(u)=0$ (matriz nula) — cada entrada da matriz vira equação; (2) Im: aplicar $T$ na base canônica do domínio, extrair matrizes geradoras; (3) testar LI das matrizes geradoras para achar o posto; (4) conferir com o teorema.

Núcleo (Nulidade):
$a + b = 0 \implies a = -b$ e $c - b = 0 \implies c = b$
$\text{Nuc}(T) = \text{ger}\{(-1, 1, 1)\}$. Nulidade = 1.

Imagem (Posto): Aplicamos T na base canônica $\{e_1, e_2, e_3\}$ e expressamos como combinação das matrizes geradoras:

$$ T(a,b,c) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Verificamos L.I.: a matriz de $b$ é igual à matriz de $a$ menos a de $c$, pois $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$. Portanto, as três matrizes são L.D. Removendo a do $b$, ficam apenas as duas L.I.: Posto = 2.

Exercício 6: O Algoritmo de Otimização

Seja $T$ um operador linear no $\mathbb{R}^3$ tal que $T(1,0,0) = (1,1,1)$, $T(0,1,0) = (1,-2,1)$, $T(0,0,1) = (1,0,-1)$. Mostre que $T$ é bijetor.

Estratégia Como abordar: em $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, as imagens da base canônica viram as colunas da matriz de $T$ (Aula 15). $T$ é bijetor $\iff$ essas colunas são LI $\iff \det \neq 0$. Atalho que junta injeção (Nuc=0) e sobrejeção (Im = todo $\mathbb{R}^n$) num único cálculo.
Roteiro: (1) montar matriz com $T(e_1), T(e_2), T(e_3)$ como colunas; (2) calcular $\det$; (3) $\det \neq 0$ $\Rightarrow$ colunas LI $\Rightarrow$ posto $=3$ $\Rightarrow$ Nuc trivial pelo Teorema Núcleo-Imagem $\Rightarrow$ bijetora.

1. As saídas formam as colunas da matriz de T. Montamos a matriz com os vetores imagem como colunas e calculamos o determinante:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Expansão pela primeira linha:
$\det = 1\cdot[(-2)(-1)-(0)(1)] - 1\cdot[(1)(-1)-(0)(1)] + 1\cdot[(1)(1)-(-2)(1)]$
$= 1\cdot(2) - 1\cdot(-1) + 1\cdot(3) = 2+1+3 = 6$.

2. Como $\det = 6 \neq 0$:
— As 3 colunas são L.I., logo a Imagem tem dimensão 3. A transformação varre todo $\mathbb{R}^3$. Sobrejetora.
— Pelo Teorema do Posto-Nulidade: $\dim(\text{Nuc}) = 3 - 3 = 0$. Injetora.
Veredito: É Bijetora.

Exercício 7: Engenharia Reversa R4 → R4

Determine $T : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4$ tal que:
$\text{ker } T = [(1,0,1,1), (0,-1,-1,-1)]$ e $\text{Im } T = \{(x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4 \mid x+y=0 \text{ e } w+z=0\}$.

Estratégia Como abordar: "engenharia reversa" — construir $T$ a partir de Nuc e Im dados. Usar o Teorema Núcleo-Imagem (Aula 16) para conferir dimensões e o Teorema da Determinação (Aula 15) para construir a TL via imagens numa base do domínio.
Roteiro: (1) extrair base/geradores de Im; (2) começar uma base de $U$ com vetores do Nuc (mapeados em $0$); (3) completar a base de $U$ com vetores LI, mapeando-os nos geradores de Im; (4) decompor um $(x,y,z,w)$ genérico nessa base; (5) aplicar linearidade — vetores do Nuc somem.

1. Imagem: Vetor da imagem: $(x, -x, z, -z)$. Geradores que o cliente pediu: $(1, -1, 0, 0)$ e $(0, 0, 1, -1)$.

2. Configurando DNA: Pelo Teorema do Posto-Nulidade: $\dim(\text{Dom}) = \dim(\text{Nuc}) + \dim(\text{Im})$, aqui $4 = 2 + 2$. Precisamos de exatamente 4 vetores base no domínio.

Os do núcleo vão para o zero: $T(1,0,1,1) = (0,0,0,0)$ e $T(0,-1,-1,-1) = (0,0,0,0)$.

Para completar a base de $\mathbb{R}^4$, escolhemos $e_2=(0,1,0,0)$ e $e_3=(0,0,1,0)$ da base canônica — são L.I. aos vetores do núcleo e entre si. Cada um é mapeado a um gerador da imagem:
$T(0,1,0,0) = (1,-1,0,0)$ e $T(0,0,1,0) = (0,0,1,-1)$.

3. Lei Geral: Escrevemos $(x,y,z,w)$ como combinação dos 4 vetores base configurados:
$(x,y,z,w) = a(1,0,1,1) + b(0,-1,-1,-1) + c(0,1,0,0) + d(0,0,1,0)$

Sistema por coordenada:
Pos 1: $a = x$ | Pos 4: $a - b = w \Rightarrow b = x - w$
Pos 2: $-b+c = y \Rightarrow c = y+b = x+y-w$
Pos 3: $a-b+d = z \Rightarrow d = z-x+(x-w) = z-w$

Aplicando a linearidade (os vetores do núcleo contribuem zero):

$$ T(x,y,z,w) = c\cdot(1,-1,0,0) + d\cdot(0,0,1,-1) = \mathbf{(x+y-w,\ -x-y+w,\ z-w,\ -z+w)} $$

Exercício 8: Engenharia Reversa R3 → R4

Determine $T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4$ tal que:
$\text{ker } T = [(1,1,1)]$ e $\text{Im } T = [(1,1,2,0), (1,2,0,0)]$.

Estratégia Como abordar: mesma receita do Ex 7, mas $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4$. Conferir consistência pelo Teorema Núcleo-Imagem: $\dim(\mathbb{R}^3) = \dim\text{Nuc} + \dim\text{Im}$, ou seja, $3 = 1 + 2$ ✓.
Roteiro: (1) base do Nuc é $\{(1,1,1)\}$ — vai pra zero; (2) completar até base de $\mathbb{R}^3$ com 2 vetores LI a $(1,1,1)$; (3) mapear esses 2 vetores nos geradores de Im; (4) decompor $(x,y,z)$ na base e aplicar.

1. Configurando DNA: Posto-Nulidade: $3 = 1 + 2$. Precisamos de 3 vetores — 1 para o núcleo, 2 para sustentar a imagem.

Núcleo vai para o zero: $T(1,1,1) = (0,0,0,0)$.

Completando a base de $\mathbb{R}^3$: $e_1=(1,0,0)$ e $e_2=(0,1,0)$ são L.I. a $(1,1,1)$ (determinante da matriz $= -1 \neq 0$). Cada um aponta para um gerador da imagem:
$T(1,0,0) = (1,1,2,0)$ e $T(0,1,0) = (1,2,0,0)$.

2. Lei Geral: Escrevendo $(x,y,z) = a(1,1,1)+b(1,0,0)+c(0,1,0)$:
$a=z$, $b=x-z$, $c=y-z$.

Aplicando a linearidade:

$$ T(x,y,z) = (x-z)(1,1,2,0) + (y-z)(1,2,0,0) = \mathbf{(x+y-2z,\ x+2y-3z,\ 2x-2z,\ 0)} $$

22. Prova Simulada — Baseada em Pulino (cap04 + cap05)

4 exercícios. Conteúdo: Aulas 10–16. Tempo sugerido: 2h. Pesos iguais (2,5 pontos cada).

Cobertura por questão:

Q1 — Axiomas de produto interno + matriz do produto interno (Aula 10)
Q2 — Subespaço ortogonal + Gram-Schmidt (Aulas 11, 12, 13)
Q3 — Teorema da Determinação + núcleo, imagem, bijetividade (Aulas 15, 16)
Q4 — Melhor aproximação via projeção ortogonal em $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ (Aulas 12, 14)

Questão 1 (2,5 pts) — adaptada de Pulino Ex 5.11

Considere a aplicação $\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por $$\langle u, v \rangle = x_1 y_1 - x_1 y_2 - y_1 x_2 + 4 x_2 y_2,$$ onde $u = (x_1, x_2)$ e $v = (y_1, y_2)$.

(a) Mostre que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ define um produto interno em $\mathbb{R}^2$.
(b) Determine a matriz $A$ do produto interno em relação à base canônica $\beta = \{e_1, e_2\}$ de $\mathbb{R}^2$.
(c) Calcule $\|u\|$ e $\langle u, v \rangle$ usando $u^t A v$, com $u = (1, 2)$ e $v = (3, -1)$.

Estratégia Como abordar: Aula 10 — 4 axiomas (linearidade na 1ª, simetria, positividade). Para (a) verificar todos. Para (b), $A = [a_{ij}]$ com $a_{ij} = \langle e_j, e_i \rangle$ — entradas saem direto da expressão dada. Para (c), usar forma matricial $\langle u,v\rangle = u^t A v$ (Aula 10).
Atalho positividade: completar quadrados em $\langle u,u\rangle$ — deve ficar soma de quadrados estritamente positiva para $u\neq 0$.

Mostrar resolução

(a) Verificação dos axiomas:

Simetria. $\langle v, u\rangle = y_1 x_1 - y_1 x_2 - x_1 y_2 + 4 y_2 x_2 = x_1 y_1 - x_1 y_2 - x_2 y_1 + 4 x_2 y_2 = \langle u, v\rangle$. ✓

Linearidade na 1ª variável. Para $u_1=(a_1,a_2)$, $u_2=(b_1,b_2)$, $\alpha\in\mathbb{R}$ e $v=(y_1,y_2)$:
$\langle \alpha u_1 + u_2, v\rangle = (\alpha a_1+b_1)y_1 - (\alpha a_1+b_1)y_2 - y_1(\alpha a_2+b_2) + 4(\alpha a_2+b_2)y_2$
$= \alpha(a_1 y_1 - a_1 y_2 - a_2 y_1 + 4 a_2 y_2) + (b_1 y_1 - b_1 y_2 - b_2 y_1 + 4 b_2 y_2)$
$= \alpha \langle u_1, v\rangle + \langle u_2, v\rangle$. ✓

Positividade. $\langle u, u\rangle = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + 4 x_2^2 = (x_1 - x_2)^2 + 3 x_2^2 \ge 0$. Zero $\iff x_1 - x_2 = 0$ e $x_2 = 0$ $\iff u = (0,0)$. ✓

Portanto, $\langle \cdot,\cdot\rangle$ define produto interno em $\mathbb{R}^2$.

(b) Matriz na base canônica: $a_{ij} = \langle e_j, e_i\rangle$.
$a_{11} = \langle e_1, e_1\rangle = 1\cdot 1 - 1\cdot 0 - 1\cdot 0 + 4\cdot 0\cdot 0 = 1$
$a_{12} = \langle e_2, e_1\rangle = 0\cdot 1 - 0\cdot 0 - 1\cdot 1 + 4\cdot 1\cdot 0 = -1$
$a_{21} = \langle e_1, e_2\rangle = 1\cdot 0 - 1\cdot 1 - 0\cdot 0 + 4\cdot 0\cdot 1 = -1$
$a_{22} = \langle e_2, e_2\rangle = 0\cdot 0 - 0\cdot 1 - 1\cdot 0 + 4\cdot 1\cdot 1 = 4$

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

(c) Cálculo com $u = (1,2)$ e $v = (3,-1)$:

$A v = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$
$\langle u, v\rangle = u^t A v = (1)(4) + (2)(-7) = \mathbf{-10}$

$\|u\|^2 = \langle u, u\rangle = (1-2)^2 + 3\cdot 2^2 = 1 + 12 = 13 \Rightarrow \|u\| = \sqrt{13}$

Questão 2 (2,5 pts) — adaptada de Pulino Ex 5.39 + 5.49

Considere $\mathbb{R}^3$ com o produto interno usual e o subespaço $$S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2x - y + z = 0\}.$$ (a) Determine uma base de $S$ e calcule $\dim(S)$.
(b) Determine uma base do complemento ortogonal $S^\perp$.
(c) Aplique o processo de Gram-Schmidt na base obtida em (a) para construir uma base ortonormal de $S$.

Estratégia Como abordar: (a) Parametrizar isolando uma variável; cada variável livre dá um vetor da base. (b) Aula 13: $S^\perp$ é gerado pelo vetor normal ao plano — coeficientes da equação $(2, -1, 1)$. (c) Aula 12: $w_1 = v_1$, $w_2 = v_2 - \tfrac{\langle v_2, w_1\rangle}{\|w_1\|^2}w_1$, depois normalizar.
Confere: pelo Teorema da Decomposição (Aula 13), $\dim(S) + \dim(S^\perp) = 3$.

Mostrar resolução

(a) Base de $S$: da equação $2x - y + z = 0$, isolamos $y = 2x + z$.
Vetor genérico: $(x,\ 2x+z,\ z) = x(1, 2, 0) + z(0, 1, 1)$.
Geradores $v_1 = (1, 2, 0)$ e $v_2 = (0, 1, 1)$ são LI (não múltiplos).
Base de $S$: $\{(1, 2, 0),\ (0, 1, 1)\}$. $\dim(S) = 2$.

(b) Base de $S^\perp$: $S$ é um plano por origem; $S^\perp$ é a reta normal ao plano, gerada pelo vetor de coeficientes da equação.
Candidato: $n = (2, -1, 1)$. Verificação:
$\langle v_1, n\rangle = 2 - 2 + 0 = 0$ ✓
$\langle v_2, n\rangle = 0 - 1 + 1 = 0$ ✓
Base de $S^\perp$: $\{(2, -1, 1)\}$. $\dim(S^\perp) = 1$.

Confere com Teorema da Decomposição: $\dim(S) + \dim(S^\perp) = 2 + 1 = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$. ✓

(c) Gram-Schmidt em $\{v_1, v_2\}$:

$w_1 = v_1 = (1, 2, 0)$. $\|w_1\|^2 = 1 + 4 + 0 = 5$.

$\langle v_2, w_1\rangle = (0)(1) + (1)(2) + (1)(0) = 2$.
$w_2 = v_2 - \dfrac{2}{5} w_1 = (0, 1, 1) - \left(\tfrac{2}{5}, \tfrac{4}{5}, 0\right) = \left(-\tfrac{2}{5}, \tfrac{1}{5}, 1\right)$.
Multiplicando por 5 (preserva direção): $w_2' = (-2, 1, 5)$. $\|w_2'\|^2 = 4 + 1 + 25 = 30$.

Normalização:
$q_1 = \dfrac{w_1}{\sqrt{5}} = \mathbf{\dfrac{1}{\sqrt{5}}(1, 2, 0)}$
$q_2 = \dfrac{w_2'}{\sqrt{30}} = \mathbf{\dfrac{1}{\sqrt{30}}(-2, 1, 5)}$

Base ortonormal de $S$: $\{q_1, q_2\}$.

Questão 3 (2,5 pts) — adaptada de Pulino Ex 4.7

Determine a transformação linear $T : \mathbb{R}^3 \to \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ que satisfaz $$T(1, 0, 0) = 1 - x, \quad T(0, 1, 0) = 1 + x, \quad T(0, 0, 1) = 1 - x^2.$$ (a) Encontre a expressão geral de $T(a, b, c)$.
(b) Determine $\text{Nuc}(T)$ e $\text{Im}(T)$, exibindo uma base para cada subespaço.
(c) $T$ é injetora? Sobrejetora? Bijetora? Justifique usando o Teorema do Núcleo-Imagem.

Estratégia Como abordar: (a) Aula 15, Teorema da Determinação — entrada na base canônica, então $T(a,b,c) = aT(e_1) + bT(e_2) + cT(e_3)$. (b) Aula 16: Nuc via $T(a,b,c) = 0_{\mathcal{P}_2}$ (zerar cada coeficiente); Im via lema "TL leva base em gerador da imagem". (c) Teorema Núcleo-Imagem $3 = \dim\text{Nuc} + \dim\text{Im}$ + comparar $\dim\text{Im}$ com $\dim\mathcal{P}_2 = 3$.
Como $\dim\mathbb{R}^3 = \dim\mathcal{P}_2 = 3$: injetora $\Leftrightarrow$ sobrejetora $\Leftrightarrow$ bijetora.

Mostrar resolução

(a) Expressão geral: decompondo $(a,b,c) = a e_1 + b e_2 + c e_3$ e aplicando linearidade:

$T(a, b, c) = a T(1,0,0) + b T(0,1,0) + c T(0,0,1)$
$= a(1 - x) + b(1 + x) + c(1 - x^2)$
$= (a + b + c) + (-a + b)x + (-c)x^2$

$\boxed{T(a, b, c) = (a + b + c) + (b - a)x - c x^2}$

(b) Núcleo: $T(a,b,c) = 0_{\mathcal{P}_2}$ exige cada coeficiente nulo:
$\begin{cases} a + b + c = 0 \\ b - a = 0 \\ -c = 0 \end{cases} \Rightarrow c = 0,\ b = a,\ 2a = 0 \Rightarrow a = b = c = 0$.
$\text{Nuc}(T) = \{(0,0,0)\}$. $\dim\text{Nuc}(T) = 0$. Base: vazia (subespaço trivial).

Imagem: pelo lema da Aula 16, $\text{Im}(T)$ é gerado por $\{T(e_1), T(e_2), T(e_3)\} = \{1-x,\ 1+x,\ 1-x^2\}$.
Esses 3 polinômios são LI: a combinação $\alpha(1-x)+\beta(1+x)+\gamma(1-x^2)=0$ leva ao mesmo sistema do núcleo, com solução só trivial.
Como são 3 vetores LI em $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ (dim 3), formam base.
$\text{Im}(T) = \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$. Base: $\{1-x,\ 1+x,\ 1-x^2\}$.

(c) Bijetividade:
Teorema Núcleo-Imagem: $\dim\mathbb{R}^3 = \dim\text{Nuc}(T) + \dim\text{Im}(T) = 0 + 3 = 3$ ✓

— $\text{Nuc}(T) = \{0\}$ $\Rightarrow$ injetora.
— $\text{Im}(T) = \mathcal{P}_2$ $\Rightarrow$ sobrejetora.
— Injetora + sobrejetora $\Rightarrow$ bijetora (isomorfismo entre $\mathbb{R}^3$ e $\mathcal{P}_2$).

Questão 4 (2,5 pts) — adaptada de Pulino Ex 5.69 + 5.17.1

Considere $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ com o produto interno $$\langle p, q \rangle = \int_0^1 p(x) q(x)\, dx.$$ Seja $W = [1, x] \subset \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ e $q(x) = x^2$.

(a) A base $\{1, x\}$ é ortogonal nesse produto interno? Justifique.
(b) Aplique Gram-Schmidt em $\{1, x\}$ para obter uma base ortogonal de $W$.
(c) Determine o polinômio $\tilde{q}(x) \in W$ que melhor aproxima $q(x) = x^2$ em $W$ (em relação à norma induzida pelo produto interno).
(d) Interprete geometricamente $\tilde{q}(x)$ e calcule a distância $\|q - \tilde{q}\|$.

Estratégia Como abordar: (a) Calcular $\langle 1, x\rangle = \int_0^1 x\,dx = \tfrac{1}{2} \neq 0$ — não ortogonal. (b) Aula 12: $w_1 = 1$, $w_2 = x - \tfrac{\langle x, 1\rangle}{\|1\|^2}\cdot 1$. (c) Aula 14, Teorema da Melhor Aproximação: $\tilde{q} = \text{proj}_W q = \tfrac{\langle q, w_1\rangle}{\|w_1\|^2}w_1 + \tfrac{\langle q, w_2\rangle}{\|w_2\|^2}w_2$. (d) $\tilde{q}$ é a projeção ortogonal de $q$ em $W$; distância via $\sqrt{\langle q-\tilde{q}, q-\tilde{q}\rangle}$ — ou usar Pitágoras $\|q\|^2 = \|\tilde{q}\|^2 + \|q-\tilde{q}\|^2$.
Integrais úteis: $\int_0^1 x^n dx = \tfrac{1}{n+1}$.

Mostrar resolução

(a) Ortogonalidade de $\{1, x\}$:
$\langle 1, x\rangle = \int_0^1 1 \cdot x\, dx = \dfrac{x^2}{2}\Big|_0^1 = \dfrac{1}{2} \neq 0$.
Não é ortogonal. Precisamos aplicar Gram-Schmidt.

(b) Gram-Schmidt em $\{1, x\}$:

$w_1 = 1$. $\|w_1\|^2 = \int_0^1 1\, dx = 1$.

$\langle x, w_1\rangle = \int_0^1 x\, dx = \dfrac{1}{2}$.
$w_2 = x - \dfrac{1/2}{1}\cdot 1 = x - \dfrac{1}{2}$.
$\|w_2\|^2 = \int_0^1 \left(x - \tfrac{1}{2}\right)^2 dx = \int_0^1 \left(x^2 - x + \tfrac{1}{4}\right) dx = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4-6+3}{12} = \dfrac{1}{12}$.

Base ortogonal de $W$: $\left\{1,\ x - \tfrac{1}{2}\right\}$.

(c) Melhor aproximação $\tilde{q}(x) = \text{proj}_W(x^2)$:

$\langle q, w_1\rangle = \int_0^1 x^2\, dx = \dfrac{1}{3}$.
$\langle q, w_2\rangle = \int_0^1 x^2\left(x - \tfrac{1}{2}\right) dx = \int_0^1 \left(x^3 - \tfrac{x^2}{2}\right) dx = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{3-2}{12} = \dfrac{1}{12}$.

$\tilde{q}(x) = \dfrac{1/3}{1}\cdot 1 + \dfrac{1/12}{1/12}\cdot \left(x - \tfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{3} + x - \dfrac{1}{2} = x - \dfrac{1}{6}$.

$\boxed{\tilde{q}(x) = x - \dfrac{1}{6}}$

(d) Interpretação geométrica e distância:

$\tilde{q}(x) = x - \tfrac{1}{6}$ é a projeção ortogonal de $q(x) = x^2$ sobre $W = [1, x]$ — o polinômio de grau $\le 1$ mais próximo de $x^2$ na norma $\|f\| = \sqrt{\int_0^1 f^2}$ (Teorema da Melhor Aproximação, Aula 14).

Distância via Pitágoras (atalho: $q - \tilde{q} \in W^\perp$):
$\|q\|^2 = \int_0^1 x^4 dx = \dfrac{1}{5}$
$\|\tilde{q}\|^2 = \int_0^1 \left(x - \tfrac{1}{6}\right)^2 dx = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{12 - 6 + 1}{36} = \dfrac{7}{36}$
$\|q - \tilde{q}\|^2 = \|q\|^2 - \|\tilde{q}\|^2 = \dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{36} = \dfrac{36 - 35}{180} = \dfrac{1}{180}$

$\boxed{\|q - \tilde{q}\| = \dfrac{1}{\sqrt{180}} = \dfrac{\sqrt{5}}{30}}$

Origem das questões no livro do Pulino:

Q1: cap05, Exercício 5.11 (página 295)
Q2: cap05, Exercícios 5.39 (página 323) e 5.49 (página 336)
Q3: cap04, Exercício 4.7 (página 225) + estrutura do Exercício 4.16 (página 242)
Q4: cap05, Exercício 5.69 (página 360) + Teorema 5.17.1 (página 365)

Se quiser que eu adicione a resolução completa de cada questão (no padrão Estratégia + Resolução dos cadernos), peça.